Portfolio-Performance verstehen: Contribution und Attribution

Angenommen, ein Portfolio erzielte im letzten Quartal eine Rendite von 6,60% gegenüber einer Benchmark, die 5,45% erzielte, und übertraf die Benchmark damit um 115 Basispunkte. Die Frage für den Portfoliomanager lautet, was diese Outperformance verursacht hat und ob sich die Berechnungen im nächsten Quartal wieder ausgleichen lassen.

1. Contribution und Attribution

Eine Portfoliorendite ergibt sich aus der Kombination der Gewichte einzelner Bestandteile, etwa Sektoren, mit den Renditen dieser Bestandteile. Die Gesamtrendite fasst somit das Ergebnis des Portfolios als Ganzes zusammen. Um zu erkennen, woher diese Rendite stammt, lässt sich die Gesamtrendite in die von jedem Bestandteil erzeugten Beträge zerlegen. Diese Zerlegung wird als Contribution-Analyse bezeichnet.

Für die folgenden Einperiodenbeziehungen wird angenommen, dass während des Messzeitraums kein Handel stattfindet und keine externen Kapitalflüsse auftreten. Sei \(i=1,\ldots,n\) der Index der Portfoliobestandteile, \(w_{P,i}\) das Anfangsgewicht von Bestandteil \(i\) und \(r_{P,i}\) dessen Rendite. Die Portfoliorendite \(R_P\) ist

Der Contribution-Beitrag von Bestandteil \(i\), bezeichnet mit \(C_{P,i}\), ist der entsprechende Term in Gleichung (1.1),

sodass sich die Beiträge der Bestandteile mit der Portfoliorendite ausgleichen,

Betrachten Sie ein Drei-Sektoren-Portfolio mit den in Tabelle 1 gezeigten Gewichten und Renditen. Technologie trägt \(0.40\times12.0\%=4.80\%\) des anfänglichen Portfoliowerts zur Quartalsrendite bei, Gesundheitswesen trägt \(0.30\times4.0\%=1.20\%\) bei und Energie trägt \(0.30\times2.0\%=0.60\%\) bei. Die Addition der drei Beiträge ergibt

Sobald die Performance relativ zu einer Benchmark bewertet wird, muss die Analyse auch die Gewichte und Renditen dieser Benchmark berücksichtigen. Seien \(w_{B,i}\) und \(r_{B,i}\) das entsprechende Benchmark-Gewicht und die Benchmark-Rendite. Die Benchmark-Rendite \(R_B\) ist

Für dieselben drei Sektoren weise die Benchmark Gewichte von 25%, 35% und 40% an Technologie, Gesundheitswesen und Energie zu, mit entsprechenden Renditen von 10%, 5% und 3%. Gleichung (1.5) ergibt dann

Die Differenz zwischen Portfolio- und Benchmark-Rendite, \(R_P-R_B\), wird als arithmetische aktive Rendite bezeichnet. Für das ausgearbeitete Beispiel beträgt sie

wobei ein positiver Wert anzeigt, dass das Portfolio die Benchmark übertroffen hat, und ein negativer Wert anzeigt, dass es hinter ihr zurückgeblieben ist. Die Zerlegung der aktiven Rendite wird als Attributionsanalyse bezeichnet, wobei das Ziel darin besteht, zu identifizieren, woher die Performance relativ zur Benchmark stammt. Tabelle 2 stellt dar, was jede Zerlegung erfordert und was sie beantwortet.

2. Zusammenführung von Beiträgen über mehrere Perioden

Ein in jeder Periode ausgewiesener Beitrag wird relativ zum Portfoliowert zu Beginn dieser Periode ausgedrückt. Mit steigendem oder fallendem Portfoliowert ändert sich auch dieser Anfangswert. Derselbe ausgewiesene Beitragsprozentsatz kann daher in unterschiedlichen Perioden unterschiedliche Kapitalbeträge repräsentieren.

Angenommen, das Portfolio startet mit einem Wert von 100 und erzielt in der ersten Periode 10%. Der Portfoliowert zu Beginn der zweiten Periode beträgt \(100(1+0.10)=110\). Wenn ein Portfoliosegment in jeder Periode 3% beiträgt, repräsentiert der erste Beitrag \(100\times0.03=3\) Werteinheiten und der zweite \(110\times0.03=3.30\). Die direkte Addition der ausgewiesenen Prozentsätze ergibt \(3\%+3\%=6.00\%\), während das Segment relativ zum anfänglichen Portfoliowert von 100 tatsächlich \(3+3.30=6.30\) Einheiten hinzugefügt hat. Sein Beitrag über den gesamten Messzeitraum beträgt daher \(6.30/100=6.30\%\).

Die Differenz von 0,30 Prozentpunkten zwischen der direkten Summe und diesem Wert entsteht, weil die beiden Beiträge von unterschiedlichen Ausgangs-Portfoliowerten aus gemessen werden.

Um dasselbe Problem allgemein auszudrücken, sei \(t=1,\ldots,T\) der Index der Messperioden. Sei \(w_{i,t-1}\) das Gewicht von Portfoliosegment \(i\) zu Beginn von Periode \(t\) und \(r_{i,t}\) dessen Rendite während dieser Periode. Sein Beitrag ist \(C_{i,t}=w_{i,t-1}r_{i,t}\), und die Portfoliorendite während Periode \(t\) ist \(R_{P,t}=\sum_i C_{i,t}\). Die verzinste Portfoliorendite über den gesamten Messzeitraum ist

Für zwei Perioden ergibt die Addition der Periodenbeiträge über alle Portfoliosegmente \(\sum_i(C_{i,1}+C_{i,2})=R_{P,1}+R_{P,2}\), während Gleichung (2.1) ergibt

Die beiden Ausdrücke unterscheiden sich durch den Verzinsungsterm \(R_{P,1}R_{P,2}\). Die Aufgabe besteht daher darin, für jedes Portfoliosegment über den gesamten Messzeitraum einen Beitrag zu konstruieren, der mit der verzinsten Portfoliorendite konsistent ist. Im Folgenden werden zwei Methoden verwendet.

2.1 Methode A: Anfangsgewicht und verzinste Segmentrendite

Methode A verfolgt das zu Beginn des gesamten Messzeitraums Portfoliosegment \(i\) zugewiesene Kapital. Beträgt der anfängliche Portfoliowert \(V_0\), so hält das Segment anfänglich \(V_0w_{i,0}\). Findet kein Handel statt, bleibt dieses Kapital im Segment investiert und verzinst sich mit den Segmentrenditen,

Gleichung (2.3) gleicht sich ohne Handel mit der verzinsten Portfoliorendite in Gleichung (2.1) aus, weil das jedem Portfoliosegment anfänglich zugewiesene Kapital dann während des gesamten Messzeitraums dort investiert bleibt, sodass Anfangsgewicht und verzinste Segmentrendite das Kapital beschreiben, das diesem Segment tatsächlich ausgesetzt war. Sobald Handel stattfindet, kann sich der in ein Portfoliosegment investierte Betrag während des Messzeitraums ändern, und sein Anfangsgewicht repräsentiert nicht mehr das Kapital, das diesem Segment während des gesamten Zeitraums ausgesetzt war. Methode A gleicht sich dann nicht mehr zwangsläufig aus. Bestimmte Handelsmuster können dennoch einen exakten Ausgleich ergeben.

2.2 Methode B: Periodenbeiträge auf einer gemeinsamen Kapitalbasis

Methode B arbeitet direkt mit dem in jeder Periode gemessenen Beitrag. Da \(C_{i,t}\) relativ zum Portfoliowert zu Beginn von Periode \(t\) gemessen wird, werden Beiträge aus verschiedenen Perioden auf unterschiedlichen Kapitalbasen ausgedrückt. Methode B macht sie vergleichbar, indem jeder Beitrag relativ zum Portfoliowert zu Beginn des gesamten Messzeitraums ausgedrückt wird.

Zu Beginn von Periode \(t\) hat das Portfolio bereits die Renditen der Perioden 1 bis \(t-1\) erzielt. Sein Wert relativ zum Beginn des gesamten Messzeitraums hat sich daher um \(\prod_{s=1}^{t-1}(1+R_{P,s})\) verändert, was bei \(t=1\) gleich eins ist, da noch keine früheren Portfoliorenditen erzielt wurden. Die Multiplikation des Periodenbeitrags mit diesem Wachstumsfaktor drückt den Beitrag relativ zur anfänglichen Kapitalbasis aus,

Das frühere Zahlenbeispiel macht jeden Term in Gleichung (2.4) explizit. Der Segmentbeitrag ist \(C_{i,1}=3\%\) in Periode 1 und \(C_{i,2}=3\%\) in Periode 2. Für Periode 1 ist der Wachstumsfaktor eins, sodass der angepasste Beitrag bei 3% bleibt. Für Periode 2 wuchs das Portfolio während Periode 1 um 10%, sodass \(R_{P,1}=10\%\), der Wachstumsfaktor \(1.10\) beträgt und der angepasste Beitrag \(3\%\times1.10=3.30\%\) ist. Die Addition der beiden angepassten Beiträge ergibt \(C_i^{(B)}=3.00\%+3.30\%=6.30\%\), was mit den zuvor berechneten 6,30% übereinstimmt. Da sich die Beiträge innerhalb jeder Periode zur Portfoliorendite dieser Periode summieren, erzeugt Methode B Beiträge, die erfüllen

Abbildung 2 vergleicht Methode A, Methode B und eine direkte arithmetische Summe der monatlichen Beiträge für ein Zwei-Anlagen-Portfolio, das mit 60% Aktien und 40% Anleihen startet. Über den zwölfmonatigen Zeitraum erzielen Aktien eine Rendite von 36,9% und Anleihen \(-5.6\%\). Im ersten Portfoliopfad werden die Gewichte am Ende jedes Monats auf 60% und 40% zurückgesetzt. Bei Anwendung auf die von diesem Pfad erzeugten Beiträge übersteigt Methode A die verzinste Portfoliorendite um 158 Basispunkte, die direkte Summe bleibt um 112 Basispunkte dahinter zurück, und Methode B gleicht sich exakt gemäss Gleichung (2.5) aus. Im zweiten Portfoliopfad findet kein Handel statt, sodass das jeder Anlage anfänglich zugewiesene Kapital während des gesamten Zeitraums dort investiert bleibt und sich auch Methode A exakt ausgleicht. Die direkte Summe bleibt 132 Basispunkte unter der verzinsten Portfoliorendite, weil die monatlichen Beiträge weiterhin auf sich ändernden Portfoliowerten gemessen werden.

3. Arithmetische Attribution für eine einzelne Periode

Die arithmetische aktive Rendite in Gleichung (1.7) spiegelt Unterschiede zwischen Portfolio und Benchmark sowohl in den einzelnen Sektoren zugewiesenen Gewichten als auch in den innerhalb dieser Sektoren erzielten Renditen wider. Brinson und Fachler (1985) trennen diese Unterschiede in Allokations-, Selektions- und Interaktionseffekte.

Der Allokationseffekt isoliert den Gewichtsunterschied, indem er ihn gegen die Rendite des Benchmark-Sektors relativ zur Benchmark als Ganzes bewertet. Für Sektor \(i\),

Da \(r_{B,i}-R_B\) die Benchmark-Sektorrendite relativ zur gesamten Benchmark-Rendite misst, erzeugt eine Übergewichtung einen positiven Allokationseffekt, wenn der Sektor die Benchmark als Ganzes übertrifft, und eine Untergewichtung erzeugt einen positiven Allokationseffekt, wenn der Sektor die Benchmark als Ganzes unterschreitet.

Sobald der Gewichtsunterschied isoliert wurde, kann die Performance innerhalb des Sektors beim Benchmark-Gewicht bewertet werden,

Die Renditedifferenz \(r_{P,i}-r_{B,i}\) vergleicht die vom Portfolio innerhalb von Sektor \(i\) gehaltenen Positionen erzielte Rendite mit der Rendite der entsprechenden Benchmark-Positionen. Die Multiplikation dieser Renditedifferenz mit \(w_{B,i}\) misst ihren Beitrag zur aktiven Rendite beim Benchmark-Sektorgewicht.

Das Portfolio kann sich gleichzeitig sowohl im Gewicht als auch in der Rendite von der Benchmark unterscheiden. Der Interaktionseffekt erfasst die Renditedifferenz auf dem Anteil des Portfoliogewichts, der über oder unter dem Benchmark-Gewicht liegt,

Betrachten Sie Technologie im ausgearbeiteten Beispiel. Ihr Portfoliogewicht beträgt 40%, ihr Benchmark-Gewicht 25%, ihre Portfoliorendite 12%, ihre Benchmark-Rendite 10%, und die gesamte Benchmark-Rendite aus Gleichung (1.6) beträgt 5,45%. Das Einsetzen dieser Werte in die Gleichungen (3.1), (3.2) und (3.3) ergibt

Technologie trägt daher \(0.6825\%+0.5000\%+0.3000\%=1.4825\%\) zur aktiven Rendite bei. Die Anwendung derselben Berechnungen auf Gesundheitswesen und Energie ergibt Tabelle 3.

Über alle Sektoren hinweg gleichen sich die drei Effekte mit der arithmetischen aktiven Rendite aus,

Für das ausgearbeitete Beispiel wird Gleichung (3.5) zu \(0.9500\%-0.2500\%+0.4500\%=1.1500\%\), was der in Gleichung (1.7) berechneten aktiven Rendite entspricht. Abbildung 3 zeigt die gesamten Sektoreffekte: Technologie trägt 1,4825 Prozentpunkte bei, Gesundheitswesen \(-0.2775\) und Energie \(-0.0550\). Gesundheitswesen trägt 1,20 Prozentpunkte zur Portfoliorendite bei und weist relativ zur Benchmark einen gesamten Attributionseffekt von \(-0.2775\) Prozentpunkten auf.

3.1 Alternative Konventionen der arithmetischen Attribution

Die obige Zerlegung folgt Brinson und Fachler (1985), deren Allokationseffekt in Gleichung (3.6) angegeben ist.

Brinson, Hood und Beebower (1986) verwenden den Allokationseffekt in Gleichung (3.7).

Die sektorspezifischen Allokationseffekte unterscheiden sich zwischen den beiden Konventionen. Ihre aggregierten Allokationseffekte sind gleich, weil sich die Portfolio- und Benchmark-Gewichte jeweils zu eins summieren, sodass \(\sum_i(w_{P,i}-w_{B,i})=0\) und

Eine gesonderte Berichtswahl betrifft die Interaktion. Die Kombination der Gleichungen (3.2) und (3.3) ergibt

Diese Berichtswahl ändert, wie die aktive Rendite auf die benannten Effekte aufgeteilt wird, während die gesamte aktive Rendite erhalten bleibt (Ankrim und Hensel, 1994).

4. Verkettung von Attributionseffekten über mehrere Perioden

Das Verzinsungsproblem aus Abschnitt 2 tritt auch bei der Attribution auf, weil sich sowohl Portfolio als auch Benchmark im Zeitverlauf verzinsen. Innerhalb jeder Periode gleichen sich Allokation, Selektion und Interaktion gemäss Gleichung (3.5) mit der arithmetischen aktiven Rendite dieser Periode aus. Über mehrere Perioden hinweg reproduziert die Addition dieser arithmetischen aktiven Renditen im Allgemeinen nicht die Differenz zwischen den separat verzinsten Portfolio- und Benchmark-Renditen.

Für zwei Perioden ergibt die Subtraktion der verzinsten Benchmark-Rendite von der verzinsten Portfoliorendite und das Ausmultiplizieren beider Produkte

Die Addition der arithmetischen aktiven Renditen aus den beiden einzelnen Perioden ergibt nur die ersten beiden Terme von Gleichung (4.1), sodass die arithmetische Summe die Differenz der Portfolio- und Benchmark-Verzinsungsterme auslässt. Erzielt das Portfolio beispielsweise in jeder Periode 10% Rendite, während die Benchmark 9% erzielt, beträgt die arithmetische aktive Rendite in jeder Periode 1 Prozentpunkt und die Summe über beide Perioden 2,00%. Die verzinste Portfoliorendite beträgt \((1.10)^2-1=21.00\%\) und die verzinste Benchmark-Rendite \((1.09)^2-1=18.81\%\), sodass die arithmetische aktive Rendite über den gesamten Messzeitraum 2,19% beträgt. Die Lücke von 0,19 Prozentpunkten ist der dritte Term von Gleichung (4.1),

Für \(T\) Perioden besteht dasselbe Problem darin, dass \(\sum_{t=1}^{T}(R_{P,t}-R_{B,t})\) im Allgemeinen nicht \(R_P^{(1:T)}-R_B^{(1:T)}\) entspricht. Seien \(A_t\), \(S_t\) und \(I_t\) die Allokations-, Selektions- und Interaktionseffekte auf Periodenebene nach Summierung der Sektoreffekte. Da sich die Einperioden-Attribution ausgleicht, \(A_t+S_t+I_t=R_{P,t}-R_{B,t}\), ergibt die Addition der Attributionseffekte über die Perioden

was im Allgemeinen nicht der verzinsten aktiven Rendite entspricht. Eine Verkettungsmethode passt die Periodeneffekte so an, dass sich die verketteten Allokations-, Selektions- und Interaktionseffekte mit \(R_P^{(1:T)}-R_B^{(1:T)}\) ausgleichen, der Differenz zwischen den separat verzinsten Portfolio- und Benchmark-Renditen. Mehrere Methoden erzielen einen exakten Ausgleich der aggregierten Attributionseffekte, darunter jene von Cariño (1999), Menchero (2000), GRAP (1997), Frongello (2002) und Davies und Laker (2001).

4.1 Verkettungsmethoden

Um über die Methoden hinweg dieselbe Notation zu verwenden, sei \(E_t\) eine beliebige der Grössen \(A_t\), \(S_t\) oder \(I_t\) in Periode \(t\). Jede Methode konstruiert einen verketteten Wert \(E^{(1:T)}\), und die verketteten Effekte müssen erfüllen

Cariño (1999) konstruiert die Anpassung aus der Beziehung zwischen arithmetischer und logarithmischer aktiver Rendite. Für Periode \(t\) und für den gesamten Messzeitraum sei definiert

Beide Ausdrücke in Gleichung (4.5) besitzen eine hebbare Singularität, wenn Portfolio- und Benchmark-Rendite übereinstimmen, mit den Grenzwerten

Der verkettete Effekt ist dann

Menchero (2000) wendet eine gemeinsame Skalierung gefolgt von einer periodenspezifischen Korrektur an. Sei \(a_t=R_{P,t}-R_{B,t}\) die arithmetische aktive Rendite in Periode \(t\), und definiere

Die Skala \(M\) besitzt eine hebbare Singularität, wenn die verzinsten Portfolio- und Benchmark-Renditen übereinstimmen, mit dem Grenzwert

Der Restbetrag \(D\) in Gleichung (4.8) ist der nach Anwendung von \(M\) für den Ausgleich noch erforderliche Betrag. Die Koeffizientenkorrektur für Periode \(t\) ist proportional zu ihrer aktiven Rendite \(a_t\). Da der aggregierte Attributionseffekt in Periode \(t\) gleich \(a_t\) ist, beträgt die von dieser Periode beigetragene Restanpassung \(Da_t^{2}\big/\sum_s a_s^{2}\), sodass der Rest gemäss den quadrierten Periodenrenditen zugeteilt wird. Die resultierenden Koeffizienten sind

GRAP (1997) drückt die Verzinsungsanpassung direkt über den Renditepfad aus. Das erste Produkt unten legt den Periodeneffekt von \(t\) auf den vor der Periode akkumulierten Portfoliowert, und das zweite trägt diesen Effekt von Periode \(t\) bis zum Ende des Messzeitraums unter Verwendung nachfolgender Benchmark-Renditen fort,

Frongello (2002) erreicht dasselbe Ergebnis rekursiv. Sei \(F_t\) der in Periode \(t\) eingeführte angepasste Effekt. Der aktuelle Periodeneffekt wird mit dem vor der Periode akkumulierten Portfoliowachstum skaliert, und die zuvor akkumulierten Effekte werden mit der aktuellen Benchmark-Rendite fortgeführt,

Das Ausmultiplizieren der Rekursion in Gleichung (4.12) ergibt den Multiplikator aus Gleichung (4.11), sodass die rekursive und die direkte Konstruktion dieselben verketteten Effekte liefern.

Davies und Laker (2001) konstruieren die vollständigen Periodeneffekte aus fiktiven Renditepfaden. Die fiktive Allokationsrendite kombiniert Portfoliogewichte mit Benchmark-Sektorrenditen, und die fiktive Selektionsrendite kombiniert Benchmark-Gewichte mit Portfolio-Sektorrenditen,

Die Verzinsung der Benchmark-, Allokations-fiktiven, Selektions-fiktiven und Portfoliopfade ergibt

und die verketteten Effekte ergeben sich als Differenzen zwischen diesen verzinsten Pfaden,

Alle fünf Methoden erfüllen Gleichung (4.4), während sich die einzelnen Allokations-, Selektions- und Interaktionssummen unterscheiden können, weil jede Methode die Verzinsungsanpassung unterschiedlich verteilt. Im in Abbildung 4 gezeigten Beispiel summieren sich die unverketteten Periodeneffekte auf 7,279%, und die separat verzinsten Portfolio- und Benchmark-Renditen ergeben eine aktive Rendite von 7,9045%, sodass die erforderliche Anpassung \(7.9045\%-7.2790\%=0.6255\%\) beträgt. Jede Methode schliesst diese Lücke und erreicht dieselbe aktive Rendite von 7,9045%, während die als Allokation, Selektion und Interaktion ausgewiesenen Beträge von der gewählten Verkettungsregel abhängen.

5. Datenfrequenz, Handel, Drift und Kosten

Die Attributionsgleichungen behandeln Portfoliogewichte als Inputs. In der Praxis können sich diese Gewichte ändern, weil sich ein Bestandteil relativ zum restlichen Portfolio verteuert, weil Wertpapiere gekauft oder verkauft werden, oder weil Kapitalflüsse die gehaltenen Mengen verändern. Ein zu einem bestimmten Zeitpunkt beobachtetes Gewicht zeigt das an diesem Datum gehaltene Exposure, ohne den Pfad offenzulegen, auf dem das Portfolio dorthin gelangt ist.

Um zu sehen, wie sich dieser Pfad ohne jeglichen Handel ändern kann, betrachten Sie die Wirkung von Renditen allein. Findet kein Handel und kein externer Kapitalfluss statt, wächst das in Segment \(i\) investierte Kapital von \(w_{i,t-1}\) auf \(w_{i,t-1}(1+r_{i,t})\), während das Portfolio als Ganzes von einer Kapitaleinheit auf \(1+R_{P,t}\) wächst. Das allein durch Renditen erzeugte Gewicht am Periodenende ist daher

Übersteigt \(r_{i,t}\) \(R_{P,t}\), impliziert Gleichung (5.1), dass \(w_{i,t}^{\mathrm{drift}}\) \(w_{i,t-1}\) übersteigt, sodass das Segment einen grösseren Anteil am Portfolio einnimmt, obwohl kein Trade stattgefunden hat. Fällt \(r_{i,t}\) unter \(R_{P,t}\), sinkt sein Gewicht. Relative Performance allein kann somit das Portfoliogewicht verändern.

Dasselbe beobachtete Gewicht kann über unterschiedliche Verläufe erreicht werden. Abbildung 5 zeigt drei Portfoliopfade, die alle mit einem Gewicht von 55% gegenüber einem Benchmark-Gewicht von 50% enden. Im ersten Pfad hält das Portfolio während der vier Quartale durchgehend 55%. Im zweiten startet es bei 50% und wird durch Handel auf 55% erhöht. Im dritten startet es bei 50% und erreicht 55% durch relative Kursbewegungen ohne Trade. Alle drei enden mit demselben aktiven Übergewicht von 5 Prozentpunkten, das das Exposure am Ende von Quartal 4 identifiziert, ohne offenzulegen, ob die Übergewichtung beibehalten, hineingehandelt oder durch Drift erreicht wurde.

Um zwischen diesen Pfaden zu unterscheiden, sind Beobachtungen vor dem Endpunkt erforderlich. Die Frequenz der Bestandsdaten bestimmt daher, wie eng die Attribution Veränderungen des Portfolios im Zeitverlauf verfolgen kann. Angenommen, ein Portfoliosegment hat zu Beginn eines Monats ein Gewicht von 50% und wird zur Monatsmitte auf 60% erhöht. Wird der Monat als eine einzige Attributionsperiode unter Verwendung nur der Eröffnungsbestände behandelt, verwendet die Berechnung das 50%-Gewicht, obwohl das Portfolio in der zweiten Monatshälfte 60% hält. Wöchentliche oder tägliche Bestände erlauben es, die Attributionsperiode zu verkürzen und das Gewicht näher am Zeitpunkt der Portfolioänderung zu aktualisieren. Bestandsbasierte Attribution wird üblicherweise anhand monatlicher, wöchentlicher oder täglicher Positionsdaten berechnet (Bacon, 2019).

Häufigere Bestandsbeobachtungen liefern eine detailliertere Aufzeichnung des Portfolios im Zeitverlauf. Jede Beobachtung erfasst dennoch nur die zu einem bestimmten Zeitpunkt gehaltenen Positionen. Ändert sich eine Position zwischen zwei aufeinanderfolgenden Beobachtungen, identifizieren die Bestandsdaten die resultierende Änderung, ohne die Abfolge, den Zeitpunkt oder die Ausführungskurse der zugrunde liegenden Transaktionen offenzulegen. Transaktionsdaten liefern diese zusätzliche Information und werden mit steigendem Umsatz zunehmend wichtiger, weil ein grösserer Anteil des Portfolio-Exposures zwischen aufeinanderfolgenden Bestandsbeobachtungen wechseln kann.

5.1 Transaktionskosten

Transaktionsdaten ermöglichen es zudem, erfasste Handelskosten von den Investitionseffekten zu trennen. Sei \(R_{P,t}^{\mathrm{gross}}\) die Portfoliorendite vor diesen Kosten und \(R_{P,t}^{\mathrm{net}}\) die Rendite danach, und definiere den Transaktionskosteneffekt als

wobei \(C_t^{\mathrm{cost}}<0\), wann immer erfasste Transaktionskosten positiv sind. Werden Allokation, Selektion und Interaktion aus Bruttorenditen berechnet, gleichen sie sich mit der aktiven Bruttorendite aus,

Die Addition von Gleichung (5.2) zu Gleichung (5.3) ergibt den Ausgleich mit der aktiven Nettorendite,

Der Transaktionskosteneffekt zeigt somit, wie stark erfasste Handelskosten die aktive Rendite verringert haben. Werden einzelne Transaktionen nach ihrem Zweck klassifiziert, können dieselben Kosten auch der Handelsaktivität zugeordnet werden, die sie verursacht hat.

6. Erweiterungen über die Standard-Sektorattribution hinaus

Das oben entwickelte Attributionsmodell verwendet Portfolio- und Benchmark-Gewichte zusammen mit Sektorrenditen. Andere Quellen aktiver Rendite erfordern zusätzliche Informationen, weil Anleiherenditen von der Zinsexponierung abhängen, internationale Renditen von der Währungsexponierung abhängen und Faktormodelle Renditen mit systematischen Risikoquellen in Beziehung setzen.

6.1 Fixed-Income-Attribution

Anleihepreise reagieren auf Renditeänderungen, und die Grösse dieser Reaktion hängt von der modifizierten Duration ab. Sei \(P\) der Anleihepreis, \(D_{\mathrm{mod}}\) seine modifizierte Duration und \(\Delta y\) die Renditeänderung. Für eine kleine Renditeänderung gilt

Ein Portfolio kann daher aktive Rendite aus einer abweichenden Zinsexponierung erzielen, selbst wenn seine Marktgewichte denen der Benchmark ähneln. Der gewichtete Duration-Ansatz trennt Unterschiede in der Gesamtduration von der Verteilung der Duration über Märkte und von den innerhalb dieser Märkte erlebten Renditeänderungen (Van Breukelen, 2000).

Panel (a) von Abbildung 6 verwendet Staats- und Unternehmensanleihen. Das Portfolio hat eine modifizierte Duration von 4,65 Jahren gegenüber 4,08 Jahren für die Benchmark. Die durationsgewichtete Renditeänderung der Benchmark ist negativ, sodass das Portfolio von den zusätzlichen 0,57 Jahren Duration profitiert und einen gesamten Durationseffekt von 8,05 Basispunkten erzielt. Das Portfolio legt zudem einen grösseren Anteil seiner Duration in Staatsanleihen an, bei denen die Benchmark-Renditen sinken, und einen kleineren Anteil in Unternehmensanleihen, bei denen die Benchmark-Renditen steigen, was einen Marktallokationseffekt von 10,85 Basispunkten erzeugt. Innerhalb der Staatsanleihen sinken die Portfoliorenditen stärker als die Benchmark-Renditen, während bei Unternehmensanleihen das Gegenteil eintritt, und der grössere Vorteil bei Staatsanleihen hinterlässt einen positiven Titelselektionseffekt von 9,25 Basispunkten. In dieser durationsbasierten Illustration summieren sich die drei Effekte auf \(8.05+10.85+9.25=28.15\) Basispunkte.

6.2 Multiwährungs-Attribution

Eine Auslandsanlage erzeugt sowohl eine lokale Marktrendite als auch eine Währungsrendite. Sei \(R_{\mathrm{local}}\) die lokale Rendite und \(R_{\mathrm{FX}}\) die aus dem Wechselkurs resultierende Rendite. In einfachen Renditen gilt

Währungspositionen können auch von den durch die zugrunde liegenden Wertpapiere implizierten Exponierungen abweichen, da sie mittels Terminkontrakten verändert werden können. Die Multiwährungs-Attribution trennt daher Markt- und Währungsperformance (Ankrim und Hensel, 1994; Karnosky und Singer, 1994). Panel (b) von Abbildung 6 verwendet eine additive Näherung, die den Kreuzterm in Gleichung (6.2) weglässt,

Karnosky und Singer (1994) formulieren ihr Attributionsrahmenwerk mittels stetig verzinster Renditen und lokaler Renditeprämien, wobei lokale Cash-Renditen über die Zinsparität in die Währungskomponente einbezogen werden.

Panel (b) allokiert 60% des Portfolios auf die USA gegenüber 50% in der Benchmark und 40% auf Japan gegenüber 50% in der Benchmark. Die USA weisen die höhere lokale Benchmark-Rendite auf, sodass die relativen Gewichte einen positiven Marktallokationseffekt von 10 Basispunkten erzeugen. Die Währungsrendite beträgt 3% für die USA und \(-2\%\) für Japan, sodass dieselben Gewichtsunterschiede einen Währungsallokationseffekt von 50 Basispunkten erzeugen. Die Wertpapierselektion trägt 15 Basispunkte bei, weil das Portfolio in den USA übertrifft und in Japan unterschreitet, wobei der US-Vorteil bei den Benchmark-Gewichten grösser ist. Die Interaktion trägt weitere 27 Basispunkte bei, weil das Portfolio dem Markt mehr Gewicht zuweist, in dem seine lokale Portfoliorendite die lokale Benchmark-Rendite übersteigt. Unter der additiven Näherung in Gleichung (6.3) gleichen sich die vier Effekte als \(10+15+50+27=102\) Basispunkte aus.

6.3 Faktorbasierte Attribution

Faktorbasierte Attribution setzt die aktive Rendite in Beziehung zu Unterschieden zwischen Portfolio- und Benchmark-Exponierungen gegenüber systematischen Renditequellen. Renditebasierte Analysen schätzen diese Exponierungen aus einer Zeitreihe von Portfolio- und Faktorrenditen (Sharpe, 1992). Für das Portfolio relativ zu seiner Benchmark enthalte \(F_t\) die Faktorrenditen in Periode \(t\), und \(\beta_P\) und \(\beta_B\) seien die entsprechenden Portfolio- und Benchmark-Exponierungen. Die aktive Rendite kann dann dargestellt werden als

wobei \(\alpha\) der aktive Achsenabschnitt ist und \(\varepsilon_t\) der Teil der aktiven Rendite, der nicht durch die einbezogenen Faktoren erklärt wird. Panel (c) von Abbildung 6 schätzt Gleichung (6.4) aus 72 monatlichen Beobachtungen unter Verwendung von Markt- und Value-Faktoren. Die Marktexponierung des Portfolios liegt 0,07 unter der Benchmark-Exponierung, und die positive durchschnittliche Marktfaktorrendite verringert die mittlere aktive Rendite um 5,2 Basispunkte. Die Value-Exponierung des Portfolios liegt 0,37 über der Benchmark-Exponierung, und die positive durchschnittliche Value-Faktorrendite trägt 1,9 Basispunkte bei. Der geschätzte aktive Achsenabschnitt beträgt 14,5 Basispunkte. Da die Methode der kleinsten Quadrate einen Achsenabschnitt einschliesst, ist der Stichprobenmittelwert des Residuums null, sodass sich die ausgewiesenen mittleren Beiträge mit der mittleren aktiven Rendite ausgleichen, \(14.5-5.2+1.9=11.2\) Basispunkte pro Monat.

7. Fazit

Literatur